Focus mathématique - Résoudre une équation du second degré

Soit \(x\) une grandeur de valeur(s) inconnues(s). Une équation du second degré en \(x\) est de la forme : \(\mathrm{a}\times x^2+\mathrm{b}\times x \ +\mathrm{c}=0\) avec \(\mathrm{a}\neq0\) (\(\mathrm{b}\) et \(\mathrm{c}\) peuvent être nuls).

Chacun des coefficients peut être négatif.

Résolution avec la calculatrice (si on ne souhaite que la valeur des solutions)

Il est vivement conseillé de savoir utiliser la calculatrice pour résoudre ce type d'équation afin d'obtenir rapidement la (les) valeur(s) solution(s). Vous pouvez procéder de la façon suivante :

• étape 1 : calculer séparément la valeur de chacun des coefficients ;
  
• étape 2 : utiliser l'outil de résolution de sa calculatrice pour trouver la (les) solution(s) mathématique(s) de cette équation, si elle(s) existe(nt) ;
  
• étape 3 : ne conserver que la (les) solution(s) mathématique(s) ayant un sens chimique (physique). Par exemple, un temps négatif solution d'une équation du second degré n'a pas de sens en physique-chimie ; il ne sera donc pas retenu pour la suite du problème.
  

Résolution à la main (si on souhaite l'expression de ces solutions ; un cas plus rare au lycée) 

Il faut tout d'abord calculer la valeur du discriminant noté \(\Delta\). Il est défini par la relation : \(\Delta=\mathrm{b^2-4\times a\times c}\).

En fonction du signe du discriminant, plusieurs situations sont possibles :

• si \(\Delta>0\), alors cette équation admet deux solutions réelles, \(x_\mathrm{1}=\frac{\mathrm{-b+\sqrt{\Delta}}}{2\mathrm{a}}\) et \(x_\mathrm{2}=\frac{\mathrm{-b-\sqrt{\Delta}}}{2\mathrm{a}}\) ;
  
• si \(\Delta=0\), alors cette équation admet une seule solution réelle, \(x=\frac{\mathrm{-b}}{2\mathrm{a}}\) ;
  
• si \(\Delta<0\), alors cette équation n'admet pas de solution réelle.